TÀI LIỆU THAM KHẢO TOÁN HỌC PHỔ THÔNG
______________________________________________________________

--------------------------------------------------------------------------------------------

CHUYÊN ĐỀ HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC THƯỜNG
(KẾT HỢP 3 BỘ SÁCH GIÁO KHOA)
HỆ THỐNG BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM
HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC THƯỜNG

 CƠ BẢN HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC THƯỜNG (P1 – P6)
 VẬN DỤNG CAO HỆ THỨC LƯỢNG TAM GIÁC THƯỜNG (P1 – P6)

THÂN TẶNG TOÀN THỂ QUÝ THẦY CÔ VÀ CÁC EM HỌC SINH TRÊN TOÀN QUỐC
CREATED BY GIANG SƠN (FACEBOOK)
GACMA1431988@GMAIL.COM (GMAIL); TEL 0333275320
THÀNH PHỐ THÁI BÌNH – THÁNG 10/2022

1

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC THƯỜNG LỚP 10 THPT
(LỚP BÀI TOÁN CƠ BẢN P1)

________________________________________________
Câu 1. Cho ABC có b  6, c  8, A  600 . Độ dài cạnh a là:
A. 2 13.
B. 3 12.
C. 2 37.
D. 20.
Câu 2. Cho ABC có a  6, b  8, c  10. Diện tích S của tam giác trên là:
A. 48.
B. 24.
C. 12.
D. 30.
Câu 6. Tam giác ABC có AB = 12, AC = 8 và góc A bằng 30 độ. Tính diện tích

Hệ thống bài tập trắc nghiệm hệ thức lượng tam giác thường

[...Các chuyên đề Trắc nghiệm Toán THPT...]
Page: CLB GIÁO VIÊN TRẺ TP HUẾ

Đại số 10_Kết nối tri thức với cuộc sống

CHUY£N §Ò TR¾C NGHIÖM
M«n: To¸n 10
Chuyên đề:

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC
Líp To¸n thÇy L£ B¸ B¶O

Trường THPT Đặng Huy Trứ

S§T: 0935.785.115

116/04 NguyÔn Lé Tr¹ch, TP HuÕ

Trung tâm Km 10 Hương Trà, Huế

Facebook: Lª B¸ B¶o

HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC

Chủ đề 2:
I. LÝ THUYẾT
1. Định lí côsin

A
b

c

B

C

a

Xét tam giác ABC với BC  a , AC  b và AB  c .
Ta có:

a 2  b2  c 2  2bc.cos A; b 2  c 2  a 2  2ca.cos B; c 2  a 2  b 2  2ab.cos C

Hệ quả:

cos A 

b2  c 2  a 2
c 2  a2  b2
a2  b2  c 2
; cos B 
; cos C 
2bc
2ca
2ab

2. Định lí sin
A

R

O

C

B

Xét tam giác ABC với BC  a , AC  b , AB  c với R là bán kính đường tròn ngoại tiếp.
a
b
c


 2R
sin A sin B sin C
3. Độ dài trung tuyến

Ta có:

A
b

c
mc

mb
ma

B

C

a

Xét tam giác ABC với ma , mb , mc lần lượt là các trung tuyến kẻ từ A , B , C.
Ta có:
m 
2
a





2 b2  c 2  a2
4

; m 
2
b





2 a2  c 2  b2
4


Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác – Lê Bá Bảo

 nh- Hóc Môn -TPHCM   Trang 1  I. VECTƠ  1. Các định nghĩa     Vectơ là một đoạn thẳng có hướng. Kí hiệu vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B là AB   .     Giá   của vectơ là đường thẳng chứa vectơ đó.        của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ, kí hiệu AB   .     Vectơ –   không   là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau, kí hiệu 0   .     Hai vectơ đgl   cùng phƣơng   nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.     Hai vectơ cùng phương có thể   cùng hƣớng   hoặc   ngƣợc hƣớng .     Hai vectơ đgl   bằng nhau   nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài.  Chú ý:   + Ta còn sử dụng kí hiệu a b ,   ,...     + Qui ước: Vectơ 0   cùng phương, cùng hướng với mọi vectơ.  + Điều kiện cần và đủ để 3 điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng là  ha i véctơ AB   , AC   cùng phương.  2. Các phép toán trên vectơ  a) Tổng của hai vectơ     Qui tắc ba điểm: Với ba điểm A, B, C tuỳ ý, ta có: AB   BC   AC       .     Qui tắc hình bình hành: Với ABCD là hình bình hành, ta có: AB   AD   AC       .     Tính chất: a   b   b   a          ;           a   b   c   a   b   c                ; a   a 0      b) Hiệu của hai vectơ     Vectơ đối   của a   là vectơ b   sao cho a   b   0       . Kí hiệu vectơ đối của a   là a    .     Vectơ đối của 0   là 0   .       a   b   a   b          .     Qui tắc ba điểm: Với ba điểm O, A, B tuỳ ý, ta có: OB   OA   AB       .  c) Tích của một vectơ với một số     Cho vectơ a   và số   k     R . ka   là một vectơ được xác định như sau:  + ka   cùng hướng với a   nếu   k     0 , ka   ngược hướng với a   nếu   k < 0.  + ka   k   a .    .     Tính chất:     k a   b   ka   kb          ; k   l a   ka   la (   )          ;     k la   kl a (   )  ka   0      k = 0   hoặc a   0    .          a vaø b   a   cuøng phöông   k   R b   ka 0   :               A, B, C thẳng hàng       k     0 : AB   k AC    .     Biểu thị một vectơ theo hai vectơ không cùng phƣơng:   Cho hai vectơ không cùng phương a b ,   và x   tuỳ ý. Khi đó    !   m, n     R: x   ma   nb       .  Chú ý:     Hệ thức trung điểm đoạn thẳng :  M là trung điểm của đoạn thẳng AB    MA   MB   0        OA   OB   OM 2       (O tuỳ ý).     Hệ thức trọng tâm tam giác :  G là trọng tâm    ABC    GA   GB   GC   0           OA   OB   OC   OG 3          (O tuỳ ý).  VẤN ĐỀ 1: Khái niệm vectơ  Baøi 1.   Cho tứ giác ABCD. Có thể xác định được bao nhiêu vectơ (khác 0   ) có điểm đầu và điểm cuối là các điểm A, B,  C, D ? nh- Hóc Môn -TPHCM   Trang 2  Baøi 2.   Cho    ABC có A  , B  , C    lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB.  a) Ch  BC   C A   A B                 .  b) Tìm các vectơ bằng B C   C A ,             .  Baøi 3.   Cho tứ giác ABCD. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, AD, BC. Chứng minh: MP   QN   MQ   PN ;      .  Baøi 4.   Cho hình bình hành ABCD có O là giao điểm của hai đường chéo. Chứng minh:  a) AC   BA   AD   AB   AD   AC ;             .  b) Nếu AB   AD   CB   CD          thì ABCD là hình chữ nhật.  Baøi 5.   Cho hai véc tơ a b ,   . Trong trường hợp nào thì đẳng thức sau đúng: a   b   a   b          .  Baøi 6.   Cho    ABC đều cạnh a. Tính AB   AC   AB   AC ;       .  Baøi 7.   Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính AB   AC   AD       .  Baøi 8.   Cho    ABC đều cạnh a, trực tâm H. Tính độ dài của các vectơ HA HB HC ,   ,   .  Baøi 9.   Cho hình vuông ABCD cạnh a, tâm O. Tính độ dài của các vectơ AB   AD    , AB   AC    , AB   AD    .  VẤN ĐỀ 2: Chứng minh đẳng thức vectơ –   Phân tích vectơ   dụng:     Qui tắc ba điểm để phân tích các vectơ.     Các hệ thức thường dùng như: hệ thức trung điểm, hệ thức trọng tâm tam giác.     Tính chất của các hình.  Baøi 1.   Cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Chứng minh:  a) AB   DC   AC   DB          b) AD   BE   CF   AE   BF   CD                .  Baøi 2.   Cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh:  a) Nếu AB   CD    thì AC   BD    b) AC   BD   AD   BC   IJ 2             .  c) Gọi G là trung điểm của IJ. Chứng minh: GA   GB   GC   GD   0             .  d) Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC và BD; M, N lần lượt là trung điểm của AD và BC . Chứng minh các   Baøi 3.   Cho   4      A,   B,   C,   D.   Gọi   I,   J   lần   lượt   là   trung      của   BC   và   CD.   Chứng   minh: AB   AI   JA   DA   DB 2(   )   3            .  Baøi 4.   Cho    ABC. Bên ngoài tam giác vẽ các hình bình hành ABIJ, BCPQ, CARS. Chứng minh: RJ   IQ   PS   0          .  Baøi 5.   Cho tam giác ABC, có AM là trung tuyến. I là trung điểm của AM.  a) Chứng minh: IA   IB   IC 2   0          .  b) Với điểm O bất kỳ, chứng minh: OA   OB   OC   OI 2   4          .  Baøi 6.   Cho    ABC có M là trung điểm của BC, G là trọng tâm, H là trực tâm, O là tâm đường tròn ngoại tiếp. Chứng  minh: a) AH   OM 2    b) HA   HB   HC   HO 2          c) OA   OB   OC   OH          .  Baøi 7.   Cho hai tam giác ABC và A  B  C    lần lượt có các trọng tâm là G và G  .  a) Chứng minh AA   BB   CC   GG 3                    .  b) Từ đó suy ra điều kiện cần và đủ để hai tam giác có cùng trọng tâm.

Bài tập tự luận chuyên đề vectơ – Trần Đình Thiên

Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô   Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New  Véc tơ- Tích Vô Hướng –   Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com  1  CÁC PHẦN CHÍNH CỦA CHUYÊN ĐỀ VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ VẤN ĐỀ 2. BA ĐIỂM THẲNG HÀNG VẤN ĐỀ 3. QUỸ TÍCH VẤN ĐỀ 4. TỈ LỆ VẤN ĐỀ 5. MIN,MAX VẤN ĐỀ 6 TÍCH VÔ HƯỚNG Phần I: Đề Bài Trang: VĐ1-P1; VĐ2-P12; VĐ3-P14; VĐ4-P17; VĐ5-P20; VĐ6-P28 Phần II: Hướng Dẫn Giải Trang: VĐ1-P35; VĐ2-P74; VĐ3-P88; VĐ4-P99; VĐ5-P110; VĐ6-P149 VẤN ĐỀ 1. BIỂU DIỄN VÉC TƠ  Email: daytoan2018@gmail.com  Câu 1:   Cho tam giác ABC biết   3,   4,   6 AB   BC   AC          ,   I   là tâm đường tròn nội tiếp tam giác   ABC  .Gọi   ,   , x y z   là các số thực dương thỏa mãn   .   .   .   0 x IA   y IB   z IC                      .Tính   x   y   z P   y   z   x          A.   3 4   P   .   B.   41 12  P      .   C.   23 12   P   .   D.   2 3   P   .  Họ và tên tác giả: Vũ Ngọc Thành Tên FB: Vũ Ngọc Thành  Câu 2:   Cho hình bình hành   ABCD   . Gọi   I   là trung điểm của   CD   ,   G   là trọng tâm tam giác   BCI   . Đặt , a   AB b   AD                . Hãy tìm đẳng thức đúng trong các đẳng thức sau?  A.   5   2 6   3  AG   a   b               .   B.   5 6  AG   a   b               .  C.   5 6  AG   a   b               .   D.   4   2 3   3  AG   a   b               .  Họ và tên tác giả: Nguyễn Thi Tiết Hạnh Tên FB: Hạnhtiettiet, Email: tiethanh.78@gmail.com  Câu 3:   Cho tam giác   ABC   với các cạnh   AB   c BC   a CA   b        ,   ,   . Gọi I là tâm đường tròn nội tiếp tam giác AB C.     A.   aIA   bIB   cIC          0               B.   0 bIA   cIB   aIC                      C.   0 cIA   bIB   aIC                     D.   0 cIA   aIB   bIC                      Họ và tên: Dương Bảo Trâm Facebook: Bảo Trâm, Email: ilovemath.ddt@gmail.com  Câu 4:   Cho hình thang cân ABCD có CD là đáy lớn,      0 30 ADC      . Biết DA = a, DC = b, hãy biểu diễn   DB      theo hai vectơ   DA      và   DC     .Sản phẩm chuyên đề lớp 10 của tập thể các thầy cô   Group: Strong Team TOÁN VD–VDC-New  Véc tơ- Tích Vô Hướng –   Chú ý: Sản phẩm chưa qua phản biện, mọi góp ý xin gửi email: Strongvdc@gmail.com  2  A.   . DB   DA   DC                 B.   3   .  b   a DB   DA   DC b                  C.   .  b   a DB   DA   DC b                   D.   . DB   bDA   aDC                Họ tên: Đỗ Thị Hồng Anh, Đ/c mail: honganh161079@gmail.com Email: kimduyenhtk@gmail.com, FB: Kim Duyên Nguyễn.  Câu 5:   Cho hình bình hành   ABCD   ,   M   là điểm thỏa mãn   5   2   0 AM   CA               . Trên các cạnh   AB   ,   BC  lần lượt lấy các điểm   , P Q   sao cho   MP   BC   MQ   AB / /   ,   / /   . Gọi   N   là giao điểm của   AQ   và  CP   . Giá trị của tổng   AN AQ      CN CP   bằng:  A.   21 19   B.   24 19   C.   23 19   D.   25 19  Họ và tên tác giả: Phạm Thị Ngọc Tên FB: Giang Thao Email: thuangiaoyen@gmail.com  Câu 6:   Cho   tứ   giác   ABCD,   M   là      tùy      K   là      cố      thỏa   mãn      thức  MA   MB   MC   3MD   xMK                              . Tìm x:  A.   2.   B.   6.   C.   5.   D.   4.  Email: kimduyenhtk@gmail.com, FB: Kim Duyên Nguyễn.  Câu 7:   Cho tam giác   ABC   , trên cạnh   AC   lấy điểm   M   , trên cạnh   BC   lấy điểm   N   sao cho  3 AM   MC    ,   2 NC   NB    . Gọi   O   là giao điểm của   AN   và   BM   . Tính diện tích tam giác  ABC   biết diện tích tam giác   OBN   bằng 1.  A.   24   .   B.   20   .   C.   30   .   D.   45  Họ và tên: Nguyễn Thanh Hoài, Email: ngthhoai1705@gmail.com  Câu 8:   Cho tam giác   ABC   , gọi   I   là điểm trên   BC   kéo dài sao cho   3 IB   IC    . Gọi   , J K   lần lượt là những điểm trên cạnh   , AC AB   sao cho   2   ;   3 JA   JC KB   KA       . Khi đó   .   . BC   m AI   n JK                 . Tính tổng   P   m   n       ?  A.   34 P      .   B.   34 P      .   C.   14 P      .   D.   14 P      .  Họ và tên tác giả: Trần Ngọc Uyên Tên FB: Tran Ngoc Uyen, Email: ngocuyen203@gmail.com  Câu 9:   Cho   hình   bình   hành   ABCD,   lấy   M   trên   cạnh   AB   và   N   trên   cạnh   CD   sao   cho 1   1 , 3   2  AM   AB DN   DC                 . Gọi I và J là các điểm thỏa mãn   , BI   mBC AJ   n AI                 . Khi J là trọng tâm tam giác BMN thì tích m.n bằng bao nhiêu?

Bài tập vận dụng cao vectơ, tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Tích vô h  ng c  a hai vect    Tr  n S    Tùng  Trang   12  O   x y M x y      1 -1  1.    nh ngh  a  L  y M trên   nöûa ñöôøng troøn ñôn vò taâm O. Xeùt goùc nhoïn      =    xOM   . Giaû söû M( x ;   y ).  sin     = y (tung ñoä) cos     = x (hoaønh ñoä) tan     =   y   tung ñoä  x   hoaønh ñoä                (x     0) cot     = x   hoaønh ñoä y   tung ñoä               (y     0)  Chú ý:     u     tù thì cos     < 0, tan     < 0, cot     < 0.      ch    xác    nh khi        90 0 , cot     ch    xác    nh khi        0 0   và        180 0 .  2. Tính ch  t        Góc ph    nhau         Góc bù nhau  0 0 0 0  sin(90   )   cos cos(90   )   sin tan(90   )   cot cot(90   )   tan                      =    =    =    =  0 0 0 0  sin(180   )   sin cos(180   )   cos tan(180   )   tan cot(180   )   cot                =    = −    = −    = −  3. Giá tr    l  ng giác c  a các góc    c bi  t  4. Các h    th  c c    b  n  sin tan   (cos   0) cos cos cot   (sin   0) sin tan   .cot   1 (sin   .cos   0)                   =    =    =     2   2 2 2 2 2  sin   cos   1 1 1   tan   (cos   0) cos 1 1   cot   (sin   0) sin             +   = +   =    +   =     Chú ý:   0   sin   1;   1   cos   1                   .  CH  NG II TÍCH VÔ H  NG C  A HAI VECT   VÀ    NG D  NG I. GIÁ TR    L  NG GIÁC C  A M  T GÓC B  T KÌ T    0  0    N   0  180  0 0   30 0   45 0   60 0   90 0   180 0  sin        0   1 2  2 2  3 2   1   0  cos        1   3 2  2 2  1 2   0     tan        0   3 3   1   3   ||   0  cot        ||   3   1   3 3   0   ||Tr  n S    Tùng   Tích vô h  ng c  a hai vect   Trang   13  Baøi 1.   Tính giá tr    các bi  u th  c sau: a)   a   b   c 0   0   0  sin 0   cos 0   sin 90 +   +   b)   a   b   c 0   0   0  cos 90   sin 90   sin180 +   +  c)   a   b   c 2   0   2   0   2   0  sin 90   cos 90   cos180 +   +   d)   2   0   2   0   2   0  3   sin   90   2 cos   60   3 tan   45    +     e)   a   a   a 2   2   0   0 2   0 2  4   sin   45   3(   tan 45 )   (2   cos 45 )    +  Baøi 2.   Tính giá tr    c  a các bi  u th  c sau: a)   x   x sin   cos +   khi   x   b  ng 0 0 ; 45 0 ; 60 0 .   b)   x   x 2 sin   cos 2 +   khi   x   b  ng 45 0 ; 30 0 .  Baøi 3.   Cho bi  t m  t giá tr    l  ng giác c  a m  t góc, tính các giá tr    l  ng giác còn l  i: a)   1 sin   4     =   ,      nh  n.   b)   1 cos   3     = −   c)   x tan   2   2 =  Baøi 4.   Bi  t   0   6   2 sin15   4   =   . Tinh   0   0   0  cos15 , tan15 , cot15   .  Baøi 5.   Cho bi  t m  t giá tr    l  ng giác c  a m  t góc, tính giá tr    c  a m  t bi  u th  c: a)   x   x 0   0 1 sin   , 90   180 3  =   <   <   . Tính   x   x A   x   x  tan   3 cot   1 tan   cot  +   + =   +   . b)   tan   2     =   . Tính   B   3   3  sin   cos sin   3cos   2sin             =   +   +  Baøi 6.   Ch  ng minh các    ng th  c sau: a)   x   x   x   x 2  (sin   cos   )   1   2 sin   .cos +   =   +   b)   x   x   x   x 4   4   2   2  sin   cos   1   2 sin   .cos +   =     c)   x   x   x   x 2   2   2   2  tan   sin   tan   .sin    =   d)   x   x   x   x 6   6   2   2  sin   cos   1   3sin   .cos +   =     e)   x   x   x   x   x   x sin   .cos   (1   tan   )(1   cot   )   1   2 sin   .cos +   +   =   +  Baøi 7.    n gi  n các bi  u th  c sau: a)   y   y   y cos   sin   .tan +   b)   b   b 1   cos   . 1   cos +      c)   a   a 2  sin   1   tan +  d)   x   x   x x  2 2  1   cos   tan   .cot 1   sin     +    e)   x   x x   x  2   2 2  1   4 sin   .cos (sin   cos   )   +  f)   x   x   x   x   x 0   0   2   2   2  sin(90   )   cos(180   )   sin   (1   tan   )   tan    +      +   +     Baøi 8.   Tính giá tr    các bi  u th  c sau: a)   2   0   2   0   2   0   2   0  cos 12   cos   78   cos 1   cos 89 +   +   +   b)   2   0   2   0   2   0   2   0  sin   3   sin 15   sin   75   sin   87 +   +   +  Baøi 9.  a)  II. TÍCH VÔ H  NG C  A HAI VECT 

Tích vô hướng của 2 vector và ứng dụng – Trần Sĩ Tùng

Gv:TrầnQuốcNghĩa(Sưutầmvàbiêntập)   1  File word liên h  :   toanhocbactrungnam@gmail.com   MS: HH10-C2  TÍCH VOÂ HÖÔÙNG & ÖÙNG DUÏNG  V V V Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA    M M M MỘT GÓC BẤT K          0 0 0 0          0 0 0 0  A - TÓM TẮT LÝ THUYẾT  1.     Cho   (   ) , OA OM   =   với   0   180            . Gi    s    (   ) ; M   x   y   .     cos   x   OH     =   =     sin   y   OK     =   =     (   )  sin  tan   90  cos   AT        =   =           (   )  cos  cot   180  sin   BS        =   =              Nh  n xét:     , –1   1 a   cos            ;   0   1 sin           tan     xác    nh khi   90             cot     xác    nh khi   180             Các s    sin     ,   cos     ,   tan     ,   cot      c g  i là các giá tr    l  ng giác c  a góc     .  2.   Dấucủacáctỉsốlượnggiác:  sin        cos        tan        cot       0   90      <      +   +   +   +  90   180      <      +           3.   Quanhệgiữacácgócphụnhau,bùnhau:     Hai góc ph    nhau:     và   90         Hai góc bù nhau:     và   180     (   ) sin 90   cos         =   (   ) sin 180   sin         =  (   ) cos 90   sin         =   (   ) cos 180   cos       = −  (   ) tan 90   cot         =   (   ) tan 180   tan       = −  (   ) cot 90   tan         =   (   ) cot 180   cot       = −  4.   Cácgiátrịlượnggiáccủamộtsốgóc(cung)đặcbiệt     0    30    45    60    90    120    135    150    180   sin   0   1  2  2  2  3  2   1   3  2  2  2  1  2   0  cos   1   3  2  2  2  1  2   0   1  2     2  2     3  2       tan   0   3  3   1   3   ||   3       3  3     0  cot   ||   3   1   3  3   0   3  3        3    ||  5.   Mộtsốhệthứccơbản        2   2  sin   cos   1 x   x +   =         tan   .cot   1 x   x   =         sin  tan   cos  x  x   x  =        cos  cot   sin  x  x   x  =         2 2  1  1   tan   cos  x   x  +   =         2 2  1  1   cot   sin  x   x  +   =  7 Ch       sin  tang  cotang  cosin    O   H   A  K   M  S B  T

Phân dạng và bài tập chuyên đề tích vô hướng của 2 vectơ và ứng dụng – Trần Quốc Nghĩa

  0 y  0 x  M  O   1  1  1   y  x  N    0 y  0 x   M  O   0 x  y  x  CHUÛ ÑEÀ 7.   TÍCH VOÂ HÖÔÙNG CUÛA HAI VECTÔ VAØ ÖÙNG DUÏNG     Baøi 01  GIAÙ TRÒ LÖÔÏNG GIAÙC CUÛA MOÄT GOÙC BAÁT KYØ TÖØ   0  0      0  180  1. Định nghĩa  Với mỗi góc   (   ) 0   0  0   180           ta xác định một điểm   M   trên nửa đường tròn đơn vị sao cho    xOM    =   và giả sử điểm   M   có tọa độ   (   ) 0   0 ;   . M   x   y   Khi đó ta có định nghĩa:     sin của góc      là   0   , y   kí hiệu   0 sin   ; y    =     cosin của góc      là   0   , x   kí hiệu   0 cos   ; x    =     tang của góc      là   (   ) 0 0 0  0 ,  y   x x      kí hiệu   0  0  tan   ;  y  x     =    cotang của góc      là   (   ) 0 0 0  0 ,  x   y y      kí hiệu   0  0  cot   .  x  y     =  2. Tính chất  Trên hình bên ta có dây cung   NM   song song với trục   Ox   và nếu    xOM    =   thì     0  180   . xON    =      Ta có   0   , M   N y   y   y =   =   0   . M   N x   x   x = −   =   Do đó  (   )  (   ) (   ) (   )  0 0 0 0  sin   sin 180 cos   cos 180 tan   tan 180 cot   cot 180   .                      =     = −    = −    = −     3. Giá trị lượng giác của các góc đặc biệt  Giá trị lượng giác  0  0   0  30   0  45   0  60   0  90   0  180  sin      0   1  2  2  2  3  2   1   0  cos      1   3  2  2  2  1  2   0   1   tan      0   1  3   1   3      0  cot         3   1   1  3   0   Trong bảng kí hiệu   "   "      Chú ý.   Từ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt đã cho trong bảng và tính chất trên, ta có thể suy ra giá trị lượng giác của một số góc đặc biệt khác. Chẳng hạn  (   ) (   )  0   0   0   0 0   0   0   0  3 sin120   sin 180   60   sin 60   2 2 cos135   cos 180   45   cos 45   . 2  =      =   = =      = −   = −  4. Góc giữa hai vectơ  a) Định nghĩa  Cho hai vectơ   a     và   b        0.     Từ một điểm   O   bất kì ta vẽ   OA   a =  ~~      và  . OB   b =  ~~      Góc    AOB   với số đo từ   0  0      0  180      a     và   . b     Ta kí hiệu góc giữa hai vectơ   a     và   b     là   (   ) , a b      . Nếu   (   )   0  ,   90 a b   =      thì ta nói rằng   a     và   b   vuông góc với nhau, kí hiệu là   a   b         hoặc   . b   a        b) Chú ý.   Từ định nghĩa ta có   (   )   (   ) ,   ,   . a b   b a =         CÂU HỎI V. B.I TẬP TRẮC NGHIỆM 10  NGUYỄN PHÚ KHÁNH      HUỲNH ĐỨC KHÁNH   Liên hệ tác giả HUỲNH ĐỨC KHÁNH      0975 120 189 https://web.facebook.com/duckhanh0205  Khi mua có sẵn   File đề riêng; File đáp án riêng để thuận tiện cho việc in ấn dạy học CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM Vấn đề 1. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC Câu 1.   Giá trị   0   0  cos 45   sin 45 +   bằng bao nhiêu?  A.   1.   B.   2.   C.   3.   D.   0.  Lời giải.   Bằng cách tra bảng giá trị lượng giác của các góc đặc biệt hay dùng MTCT ta được  0 0   0 0  2 cos 45   2   cos 45   sin 45   2. 2 sin 45   2       =          +   =       =     Chọn B.  b    a     b     a    A  B  O

Câu hỏi và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng – Nguyễn Phú Khánh, Huỳnh Đức Khánh

Câu 1 :   [0H2 - 1 - 1]   N  u tan   3      thì cos     b  ng bao nhiêu?  A . 10 10     .   B. 10 10   .   C. 10 10     .   D. 1 3   .  L  i gi  i  Ch  n A  Ta có 2   2 2   2   2  1   1   1   1 1   tan   cos cos   1   tan   1   3   10                            .  Suy ra 10 cos   10      .  Câu 2 :   [0H2 - 1 - 1] cos     b  ng bao nhiêu n  u 1 cot   2      ?  A . 5 5     .   B. 5 2   .   C. 5 5     .   D. 1 3     .  L  i gi  i  Ch  n A  Ta có 1 cot   tan   2 2             .      2   2 2 2   2  1   1   1   1 1   tan   cos cos   1   tan   5 1   2                           .  Suy ra 5 cos   5      .  Bài 2: Tích vô hư  ng c  a hai véctơ .  Câu 3 :   [0H2 - 1 - 1] Bi  t 1 cos   3      . Giá tr      a bi  u th  c 2   2  sin   3cos P          là:  A. 1 3   .   B. 10 9   .   C . 11 9   .   D. 4 3   .  L  i   gi  i  Ch  n C      2   2   2   2   2   2 1   11 cos   sin   3 os   sin   cos   2cos   1   2cos 3   9  P   c                                          .Câu 4 :   [0H2 - 1 - 1]   Cho    và    là hai góc khác nhau và bù nhau. Trong các đ  ng th  c sau    ng th  c nào   sai ?  A. sin   sin         .   B. cos   cos       .   C. tan   tan       .   D . cot   cot        .  L  i gi  i  Ch  n D  D  a vào   giá tr    lư  ng giác c  a các góc bù nhau d    th  y phương án A, B, C đúng và  D sai.  Câu 5 :   [0H2 - 1 - 1]   Cho    là góc tù. Đi  u kh  ng đ  nh nào sau đây là đúng?  A. sin   0      .   B. cos   0      .   C . tan   0      .   D. cot   0     .  L  i gi  i  Ch  n C  Góc tù có đi  m bi  u di  n thu  c góc ph  n tư th    II, có giá tr  sin   0      , còn cos     , tan    và cot       u nh    hơn 0   .  Câu 6 :   [0H2 - 1 - 1]   Tìm kh  ng đ  nh   sai   trong các kh  ng đ  nh sau đây  A . cos35   cos10       .   B. sin 60   sin80       .   C. tan 45   tan 60       .   D. cos 45   sin 45      .  L  i gi  i  Ch  n A  D    th  y B, C là các b  t đ  ng th  c đúng.  Câu 7 :   [0H2 - 1 - 1] Giá tr  O   O  cos 45   sin 45    b  ng bao nhiêu?  A. 1   .   B . 2   .   C. 3   .   D. 0   .  L  i gi  i

Bài tập trắc nghiệm tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng có lời giải chi tiết

Chương 2 TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ   1.   GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC BẤT KỲ TỪ   0      180   I.   Tóm tắt lí thuyết  1.   Giá trị lượng giác của một góc bất kỳ từ   0       180     Với mỗi góc      ( 0             180  ), ta xác định một điểm   M   trên nửa đường tròn đơn vị sao cho    xOM   =      và giả sử điểm   M   có tọa độ   M ( x 0 ;   y 0  ) . Khi      sin   của góc      là   y 0 , ký hiệu   sin      =   y 0 ;     cô-sin   của góc      là   x 0 , ký hiệu   cos      =   x 0 ;     tang   của góc      là   y 0  x 0  ( x 0   6   =   0 ), ký hiệu   tan      =   y 0  x 0  ;     cô-tang   của góc      là   x 0  y 0  ( y 0   6   =   0 ), ký hiệu   cot      =   x 0  y 0  .  x  y  O  1   1  1  M  x 0  y 0   Các số   sin    ,   cos    ,   tan    ,   cot         giá trị lượng giác của góc    .  4 !   Chú ý.     Nếu      là góc tù thì   cos      <   0 ,   tan      <   0 ,   cot      <   0 .     tan      chỉ xác định khi      6   =   90  .     cot      chỉ xác định khi      6   =   0    và      6   =   180  .  Tính chất 1.   Về dấu của các giá trị lượng giác.     sin      >   0   với   0    <      <   180  .     cos      >   0   với   0    <      <   90    và   cos      <   0   với   90    <      <   180  .     tan      >   0   với   0    <      <   90    và   tan      <   0   với   90    <      <   180  .     cot      >   0   với   0    <      <   90    và   cot      <   0   với   90    <      <   180  . Như vậy,   cos    ,   tan    ,   cot      luôn cùng dấu với   0    <      <   90    và   90    <      <   180  .  Tính chất 2.   Mối quan hệ giữa hai góc bù nhau. 99100   CHƯƠNG 2. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ     sin      =   sin ( 180        ) .     cos      =      cos ( 180        ) .     tan      =      tan ( 180        )   với      6   =   90  .     cot      =      cot ( 180        )   với      6   =   0  ,   180  .  Tính chất 3.   Mối quan hệ giữa hai góc phụ nhau (với   0             90  ).     sin ( 90        ) =   cos    .     cos ( 90        ) =   sin    .     tan ( 90        ) =   cot      với      6   =   0  .     cot ( 90        ) =   tan      với      6   =   90  .  Tính chất 4.   Các công thức cơ bản.     tan      =   sin     cos      .      cot      =   cos     sin      .      tan    .   cot      =   1 .     sin 2      +   cos 2      =   1 .      1   +   tan 2      =   1 cos 2      .      1   +   cot 2      =   1 sin 2      .  2.   Góc giữa hai vec-tơ   Cho hai vec-tơ     a   và      b         0   . Từ một điểm   O   bất kỳ, ta vẽ      OA   =     a  và      OB   =      b   . Góc    AOB   với số đo từ   0       180       góc giữa hai vec-tơ     a  và      b   . Ta ký hiệu góc giữa hai vec-tơ     a   và      b   là   (   a   ,      b   ) . Nếu   (   a   ,      b   )   =   90    thì ta nói rằng     a   và      b   vuông góc với nhau, ký hiệu là     a      b   hoặc      b     a   .     b     a  O  B      b   A   a  4 !   Từ định nghĩa ta có   (   a   ,      b   )   =   (    b   ,     a   ) .  Tính chất 5.   Nếu     a   và      b   cùng hướng thì   (   a   ,      b   )   =   0  .  Tính chất 6.   Nếu     a   và      b   ngược hướng thì   (   a   ,      b   )   =   180  .  II.   Các dạng toán  Dạng 1. Tính các giá trị lượng giác  Sử dụng các công thức cơ bản ở phần lý thuyết để tính ra các giá trị lượng giác.  4 !   Cần chú ý dấu của các giá trị lượng giác khi tính.  Ví dụ 1.   Cho   sin      =   1 4 . Tính   cos    ,   tan    ,   cot      biết   0    <      <   90  .  Lời giải.   Ta có   sin 2      +   cos 2      =   1      cos 2      =   1      sin 2    . Với   sin      =   1 4   thì   cos 2      =   1      1 16   =   15 16   . Vì   0    <      <   90    nên   cos      =   15 16   . Từ đó suy ra   tan      =   sin     cos      =   15 15   ,   cot      =   cos     sin      15 .

Lý thuyết, các dạng toán và bài tập tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng

Giáo viên có nhu c  u s    h  u file word vui lòng liên h  . Face: Tr  n      . S  T: 0834332133  Trang 652  N  a  0 y  0 x -  M  O   0 x  y x  a  0 y  0 x  M  O   1 1 1 -  y x  CH  NG II. TÍCH VÔ H  NG HAI VECT    VÀ    NG D  NG BÀI 1. GIÁ TR    L  NG GIÁC C  A M  T GÓC B  T K    T    0 0    N   0 180  A. KI  N TH  C C    B  N C  N N  M 1.    nh ngh  a  V  i m  i góc   (   ) 0   0 0   180 a   a       ta xác    nh m  t    i  m   M   trên n  a    ng tròn    n v    sao cho   xOM   a =   và gi    s     i  m   M   có t  a      (   ) 0   0 ;   . M   x   y  Khi        nh ngh  a:     sin c  a góc   a   là   0   , y   kí hi  u   0 sin   ; y a   =     cosin c  a góc   a   là   0   , x   kí hi  u   0 cos   ; x a   =     tang c  a góc   a   là   (   ) 0 0 0 0 ,  y   x x     kí hi  u   0 0 tan   ;  y x  a   =     cotang c  a góc   a   là   (   ) 0 0 0 0 ,  x   y y      kí hi  u   0 0 cot   .  x  y  a   =  2. Tính ch  t  Trên hình bên ta có dây cung   NM   song song v  i tr  c   Ox   và n  u    xOM   a =   thì      0 180   . xON   a =   -   Ta có   0   , M   N y   y   y =   =   0   . M   N x   x   x = -   =   Do      (   ) (   ) (   ) (   )  0 0 0 0 sin   sin 180 cos   cos 180 tan   tan 180 cot   cot 180   .  a   a a   a a   a a   a  =   - = -   - = -   - = -   -  3. Giá tr    l  ng giác c  a các góc    c bi  t  Giá tr    a  l  ng giác 0 0   0 30   0 45   0 60   0 90   0 180 sin   a   0   1 2 2 2 3 2   1   0 cos   a   1   3 2 2 2 1 2   0   1 -  tan   a   0   1 3   1   3      0Giáo viên có nhu c  u s    h  u file word vui lòng liên h  . Face: Tr  n      . S  T: 0834332133  Trang 653 cot   a      3   1   1 3   0     Trong b  ng kí hi  u   "   "       ch    giá tr    l  ng giác không xác    nh.  Chú ý.   T    giá tr    l  ng giác c  a các góc    c bi  t      ng và tính ch  t trên, ta có th   suy ra giá tr    l  ng giác c  a m  t s    góc    c bi  t khác. Ch  ng h  n:  (   ) (   )  0   0   0   0 0   0   0   0 3 sin 120   sin 180   60   sin 60   2 2 cos135   cos 180   45   cos 45   . 2  =   -   =   = =   -   = -   = -  4. Góc gi  a hai vect   a)    nh ngh  a  Cho hai vect    a     và   b      u khác vect    0.     T    m  t    i  m   O   b  t kì ta v    OA   a =         và   . OB   b =         Góc   AOB   v  i s     o t    0 0    n   0 180    c g  i là góc gi  a hai vect    a     và   . b     Ta kí hi  u góc gi  a hai vect   a     và   b     là   (   ) , a b        . N  u   (   )   0 ,   90 a b   =        thì ta nói r  ng   a     và   b     vuông góc v  i nhau, kí hi  u là   a   b ^        ho  c . b   a ^       b) Chú ý.   T     nh ngh  a ta có   (   )   (   ) ,   ,   . a b   b a =           c 6)  B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI.  D  ng   1   :   xác    nh   giá   tr    l  ng   giác   c  a   góc    c   bi  t.  1. Ph  ng pháp gi  i.     S    d  ng    nh ngh  a giá tr    l  ng giác c  a m  t góc     S    d  ng tính ch  t và b  ng giá tr    l  ng giác    c bi  t     S    d  ng các h    th  c l  ng giác c    b  n  2. Các ví d  . Ví d    1 : Tính giá tr    các bi  u th  c sau: a)   A   a   b   c =   +   + 2   0   2   0   2   0 sin 90   cos 90   cos180  b)   B   =   -   +   - 2   0   2   0   2   0 3   sin 90   2 cos 60   3 tan 45  b    a     b     a    A  B  O

Phân loại và phương pháp giải bài tập tích vô hướng hai vectơ và ứng dụng

HÌNH HOÏC 10  CHƯƠNG II TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ VÀ ỨNG DỤNG  Giáo Viên Trường THPT Tuy Phong

Chuyên đề tích vô hướng của hai vectơ và ứng dụng – Lư Sĩ Pháp

 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - -  TRẦN THỊ XUYẾN CHI  CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC  HÀ NỘI - 2014 TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - - - - - - - - - -  TRẦN THỊ XUYẾN CHI  CÁC BÀI TOÁN VỀ HỆ THỨC LƯỢNG TRONG TAM GIÁC  LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC  Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP Mã số: 60.46.0113  Người hướng dẫn khoa học PGS. TS. PHAN HUY KHẢI  HÀ NỘI - 2014

Tích vô hướng của hai vector và ứng dụng